ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
https://wanminliu.github.io/KTH/
https://wanminliu.github.io/KTH/ODE/ODE.html
Ref
:
SF1692
ODE
Forelashing
2
20240827
5
1
.
3
kurvfamiljer
oh
ortogonala
banor
&
Fran
D
.
E
.
till
I-
parameter
family
ar
kurvor
.
Exempel
.
Kontrollera
all
-
X
Y(X
,
C
:
=
ce
,
dar
car
en
parameter
,
ar
lisningar
a
differentialelvation
(D
.
E)
x
=
-
Y
.
Lisning
.
M
.
h
.
a
.
Kedjeregeln
har
vi
-
X
dy(x
.
x
=
cd)e
Y)
=
ce
.
H)
=
-
Y(x
,
)
.
dX
↓
X
(1-
famili
)
Detta
ar
ett
exempel
pa
en
1-parameter
family
ar
kurvor
med
ekvation
f(x
.
Y
,
x
=
0
,
-
X
dar
fix
.
y
,
x
=
y
-
ce
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
I
allmanlet
,
fran
en
bra
D
.
E
=
f(x
.
)
.
anta
att
vi
har
en
1-parameter
family
a
losningar
.
Vi
far di
en
1-parameter
family
av
kurvor
.
Anwarkning
.
Foljande
D
.
E
.
ar
inte
bra.
①(
+
1
=
0
.
Det
finns
ingen
lishing
.
②
(d)
+
y
=
0
Det
finns
bara
en
lishing
=>
(1
=>
Y
=
0
.
noll
Konstant
funktion
⑤
Fran
1-parameter
family
av
kurror
till
D
.
E
.
Exempel
.
Vi
antar
att
c
30
.
x
+
y
=
c
(
dus
f(x
.
7
.
x
=
X
+
y
-
c)
Det
air
en
1-parameter
family
ar
cirklar
med
radi e
c
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Om
&
ar
noll
ar
Let
origo
.
Y
I
:
S
Strategi
teg
!
Ta
derivatin
ar
fix
.
Y
.
=
0
paX
.
S
Vi
far
en
my
eleration
ar
former
g(x
,
y
.,
)
=
0
.
steg2
.
Om
vikan
eliminera c
from
(f(X
,
y
=
0
g(x
,
y
.,
)
=
0
S
da
far
vi
D
.
E
.
au
former
F(x
.
y
.
&)
=
0
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Exempel
(Fortsattal
X
+
y
=
c.
Ta
"
*
"
:
2x
+
zyd
=
0
.
Parametern
Car
redan
forsvunnen
.
Vibenover
inte gra
Steg
2
.
DE
.
2x
+
2y
*
=
0
.
·
om
y
=
0
X
=
0
.
Dus
origo
10
,
%)
are
loshing
.
·
on
y
o
=
-
*
Detta
ar
eff
exempel
ar
D
.
E
.
ar
separabla typ
.
5
or togonala
banor
or thogonal
trajectories)
Lemma
.
Tra
linjer
Y
=
k
,
X
+
b
,
och
y
=
kX
+
be
med
lutningar
K
,
oh
12
ar
or togonala
om
oh
endast
on
K
:
kz
=
-1
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Def
.
Tra
karvor
som
skir
varan dra
i
en
punkt
P
Kallas
or togonala
om
deras
tangentlinjer
vid
P
aror togonala
.
Det
finns
ingen
definition
ar
"ortogonal"
om
kurvor
inte
har
tan gentlinger
.
Faktum
.
Lutningen
ar
tangenten
for
y
=
YI)
ar
x
Def
For
D
.
E
dy
[x
=
f(x
,
y)
med
en
1-parameter
family
av
lisningskurvor
definierar
vi
D
.
E
.
for
or togonala
family
med
*
=
-
f(
,
x
Dessa
tra l-parameter
family
kurvor
ar
or togonala
till
Varandra
.
For
en
familjkurvor
familikarvor
D
.
E
nur
kan
man
hitta
or togonala
familikurwor
?
or togonalafamilykurvor
or togonala
D
.
E
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Exempel
(Fortsattal
om
y
=
0
x
=
y
=
=
5
(k
,
%
=
DE
.
dy
x
=
-
Y
-
&
a
D
.
E
for
or togonala
family
ar
f(x
,
Y)
dy
Ex
=
-
*
=
z
.
1
Vi
loser
D
.
E
11)
.
·
Om
y
=
0
ah
Xt0
,
far
vi
HL
=
0
ouh
VL
=
0
.
dus
"Y
=
0
oh
Xto"@
ar
en
losning
.
·
On
Y 50
och
XO
far
vi
↳
=
R
X
diX
>
0
,
absolutbelopp
#
:
=
[0
do
komihig
all
S
*
dx
=
en(X1
+
c
(X
+0
for
alla
intervall
som
into
innehaller
roll
.
Vi
integrerar
med
arseende
pavariable
X
pi
bada
sidor
ar
121
.
=>
(a
=
(
=>
In
/Y1
=
1n
(X1
+
c
131
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
si
In
1Y/
(n(X)
+
C
In
IX/
E
2
=
e
=
e
e
gIn1YI
=
(Y/
=>
ly1
=
1X1
.
e
(kom
ihag
atte
=
o
(
=>
y
=
1
ex
dus
y
=
ex
eller
y
=
-
ex
G
Vi
Kan
omskriva
②
pa
est
enhetligt
satt
Y
=
1X
,
KEIR
dark
=
eco
for
fallet
&
k
=
0
for
fallet
@
k
=
-e
for
fallet
dy
=
-
I
Y
x
=
*
-
X
x*
y
=
c
y
=
kX
For
alla
1,0
ouh
K
ar
x
=
Y
=
cortogonala till y
=
k
X
Men
vi
har
inte
y-axeln
(med
dess
definitionselvation
X
=
0)
i
den
or togonala
familien
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Anmarkning
.
Man
skulle
kunna
utika"
definitionen
av
or togonala
famil
;
utan
attanvanda
namnare
.
Def
For
D
.
E
*
=
f(x
,
y)
med
en
1-parameter
family
av
lisningskurvor
definierar
vi
D
.
E
.
for
ortogonala
famili
med
=
-
f(x
,
y)
Def
.
For
D
.
E
ar
former
M(X
,
y)dx
+
N(x
,
y)
dy
=
med
an
1-parameter
familiar
losningskurvor
definierar
vi
.
D
.
E
.
for
or togonala
family
med
-
N(X
,
y)dx
+
M(X
,
y)
dy
=
0
.
Exempel
(aterbeskt)
x
+
y
=
c
dX
2xdx
+
zydy
=
0(3)
y
=
kX
or togonala
D
.
E
.
eller
x
=
0
-
2ydx
+
2xdy
=
0(4)
Y
Vi
loser
D
.
E
141
·
om
X
=
0
(detiry-axeln)
da
far
vidx
=
0
sa
X
=
0
ar
en
loshing
an
(4)
·
Om
y
=
0
(det
Er
X-axeln
(
da
farvi
dy
=
0
*
say
=
0
ar
ocksi
en
lishing
ar
(4)
*
om
Xo
oh y
to
far
vi
=
(2)
.
oc
y
=
kx(k
+
0)
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
1
.
4
Till
waxt/artagande
modell
Fysik
process
Kemiprocess
Matematisk
Creation
-
diffusion)
modell
med
Befollning
still
vaxt
elvationlers
--
Anrand
modeller
Lisa
ekvationer
for
att
forutsaga
analysera
losningar
eller
forklara
verkligheten
Exempel
.
Beteckna
med
its
en
antal/storhet
med
variabel
tid
+.
Antag
att
yets
uppfyller
foljande
matematiska
model
dy
it
=
ky
Ill
dar k
ar en
Konstant
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
·
Om
K
=
0
dvs
&
=
0
=>
Y
=
Konstant
funktion
.
·
Om
>0
Sager
vi
att
()
ar
en
till
waxt
modell
.
·
Om
>0
Sager
vi
att
(1)
ar
en
ar tagande
modell
.
Losningar
av
DE
11
o
Om
Y
=
0
far
vi
*
=
0
dis
VL
ar
11)
=
HL
avl
Sa
y
=
0
ar
en
loshing.
@
2
Om
y
to
far
vi
dy
T
=
kdt
=>
S
=
(dt
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
=>
In
(y(t))
=
k+
+
b
In
13 (t)/
kt
+
b
b
kt
=>
e
=
e
=
e
.
e
b
kt
=>
((t))
=
e
.
e
b
kt
=>
y(t)
=
el
3kt
⑤
dus
Y(t)
=
e
e
6
kt
eller
y(t
=
- eeG
Vi
har
tre
fall
ar
lisningar
@
&
.
vi
Kan
omskriva
tre
fall
;
en
formal
kt
S
o
Y(t)
=
ce
,
c
<
IR
.
e
⑤
-
eQ
Sats
.
1
Lisningar
ar
DE
E
=
ky
kt
ary(t)
=
ce
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
Newtons
lag
on
Kylning
.
TIt)
:
Temperatur
an
en
varm
kropp
vid
tid
+
Tom
:
----ar
omgirning
.
Antag
att
hastigheten
med
vilken
en
varm
kropp
Svalnar
ar
propor tionell
mot
skillnaden
;
temperatur
mellan
den
oc
dess
omginning
,
dus
T
=
-
k
(T-
Tom)
(2)
D
.
E
.
(2)
ar
Newtons
lag
ar
kylning
.
Exempel
.
En
kopp
Kaffe
gors
med
Kokande
vatten
vid
temperatur
paloo
ici
ett
rum
vid
temperatur
20
%
c
.
Effer
tui
minuter
blir
Kaffe
80
°.
Q1
.
Vader
Kaftes
temperatur
effer
5
min
?
Q2
.
Nar
kommer
kaffet
alt
sjunka
under
40
?
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Lisning
.
Lat
Tht)
vara
Kaftes
temperate
(ii)
vid
tid
+
(
:
minuter)
.
Vi
vet
att
T
(0)
=
100(a)
Tom
=
20(b)
+(2)
=
0014
Genom
att
anvanda
Newtons
lag
ar
kylning
far
vi
=
-
k(T -
20)
.
=
d(T
-
20)
=
-
k(T
-
20)
dt
Sats
-
kt
=>
T
-
20
=
Ce
-
-
kt
Sa
T
(t)
=
20
+
c
.
e
.
M
.
h
.
a
.
(a)
har
vi
T(a
=
20
+
c
.
20
=
100
oc
c
=
80
.
M
.
h
.
a
.
(9)
har
vi
T (2)
=
20
+
80
.
e
=
00
=>
k
=
-
(en)(
,
)
Gln(s)
+
Ca
T(t)
=
20
+
80
.
e
-
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
↓
In
(2)
.
5
T
(5)
=
20
+
80e
=
59
.
Q1
:
Effer
5
min
.
Er
Kafte
59
.
For
Q2
loser
vi
ekration
TIt)
=
40
.
+
h(z)
2(n(t)
2
20
+
80e
=
40
=
t
=
en()
=
9
.
6
.
#fer
9
.
6
min
.
Er
Kafte
40
%
.
t
Sate
2
.
Lisningar
ar
D
.
E
.
T
=
-
K
(T-
Tom)
(2)
ar
Thi
=
Tom
+
Celt
(3)
Sate
3
.
Lisningar
ar
D
.
E
.
&
=
k(y-
b)
E2)
ary(t)
=
b
+
cek
+
4
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
1
.
5
Fallande
kropp
⑤
Fritt
fall
modell
:
vakuum
med
initial
hastighet
0
.
Beteckna
med
yets
arstandet
j3y(t)
frein
staposition
vid
tid
+.
day
D
.
E
.
-
I
9
=
Konstant
d
+ "
9
.
8 m/s
&
y(0)
=
0
(4)
nara
Jordens
yta
Y'(d
=
0
=>
y(t)
=
+gt
&
Fall
Modelli
luft
med
initial
hastighet
0
.
Vi
Antar
att
luff
utivar
en
↑
Y(t)
motstandskraft
som
ar
propotionall
mot
3
hastigheten
.
Da
r
D
.
E
.
y"
=
g
-
cy'
15) (90)
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Det
ar
andra
ordningar
D
.
E
.
Vi
kan
reducera
ordning
ar
15)
genom
att
anranda
VIt)
:
=
ylt)
.
Sa
far
vi
v'lt)
=
y"st)
out
v'(t)
=
g
-
cV(6)
#
vict)
=
-
c(V
-
9)
(1
.
Anmarkning
.
Elvation
(2)
(Newtons
log
ar
kylning)
och
(7)
ar
samma
struktur i
matematik
.
-
ct
M
.
h
.
a
.
Satss
.
Har
vi
Vit)-S
=
ke
Efferom
V(0)
=
0
far vi
K
=
-
&
Sa
Viti
=
9)1
-
e-
)
.
Efferson
30
far
vi
VIt
-
>*
di
+
+
+
r
.
