ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
https://wanminliu.github.io/KTH/
https://wanminliu.github.io/KTH/ODE/ODE.html
Ref
:
SF1692
ODE
Forelasning
3
20240829
Innehill
Kap
2
.
17
,
10
,
117
.
S2
.
7
Homogena
elvationer
2
betydelsen
homogena
funktioner
1)
et
finns
and
a
termen
"Homogena
elvationer"
:
betydensen
linjer
algebra
.
Def
.
Funktioner
f(X
,
Y)
Sags
vara
homogen
ar
grad
n
om
f(tx
,
+
y)
=
+ "
fix
,
Y)
galler
for
"alla"
X
,
Y
oh
t
Def
.
En
D
.
E
.
pa
former
M(X
,
Y)dx
+
N(x
,
y)
dy
=
0
(1)
sags
vara
homogen
ar
grad
n
on
bade
M
och
Nar
homogen
ar
grad
1
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
[13
S
D
.
E
.
ar
separabla
typ.
En
ordning
/
D
.
E
.
ar
separable
typ
Def
.
Om
dy
=
g(x)
.
h(y)
.
(2)
IX
(2)
steg1
Los
ekrationen
h(y)
=
0
(3)
Om
det
finns
losninglers
Y
=
a
,
dus
hial
=
0
.
da
da
=
Ex
=
0
.
D
.
Vs
.
att
Y
=
a
(Konstant
funktion)
ar
losninglers
stegz
.
Antag
att
Ya
eller
safinns
det
ingen
lishing
for
h(y)
=
0
.
Da
har
vi
day)
=
g(x)dx14)
Integrera
for
x
pabada
sidor
ar
14
)
S
y
=
Sg(x)dx
-
~
Funktion
av
X
=
Funktion
avX
+
C
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
D
.
E
.
av
&
Homogen
D
.
E
separable
typ
M(X
,
Y)dx
+
N(x
,
y)
dy
=
0
(1)
Steg
1
.
Vi
Omskriver
(1)
till
former
*
=
f
()(5)
Antag
N(X
,
x)
+
0
.
(Nikan
diskutera
!
fallet
NIX
,
y
=
o
Sjalva
.
M(X
,
Y)
(1)
=
Ex
= -
N(x
,
y)
=
-
x M(
.
)
XVN(I
,
*
)
a
Ni
Kan
diskutera
fallet
X
=
o
Sjalra
.
=>
=
-
my
.
)
==
f(
*
)(5)
N(l
,*
)
&
Vi
kallar
det
f
.
dus
f(u)
=
-
M
(1
,
u)
N(1
,
u)
Steg
2
.
Lat
U(X)
:
=
Y(X)
X
Da
Y(X)
=
U(X)
.
X
.
M
.
h
.
a
.
Produktions
regel
dy
=
ux)
-
x
+
u
-
16
sa
(6)
*
=
f(E)
<>
wix
-
X
+
u
=
f(u)()
separable
typ.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
u
=
Homogen
DE
=
f(z)
u(x
-
X
+
u
=
f
(4)
Exempel
.
Lis
(x
+
y)dx-
(x
-
y)
dy
=
0
.
(8)
steg
!
Vi
loser
N(X
.
Y)
=
0
,
da
far
vi
X-y
=
0
,
dis
Y
=
X
.
191
Vi
Kollar
om
191
ar
losing
ar
(8)
.
(
+
x)
-
1
-
(x
-
x)
.
1
=
0E)X
=
0
.
Men
"X
=
o"ar
inte
en
alltid
identitet
I
det
beror
pe
X
.
(
Vi
far
inte
identitet
"X
=
0"
.
Y
=
X
ar
inte
lishing
av
(8)
.
stegz
.
Da far
vi
(dar
U
=
*
)
:
*
=
X
+
Y
1
+
1
+
u
=
=
X
-
Y
1
-
*
1
-
u
du
och
*
=
X
·
x
+
U
-
2
sa
d
·
X
=
1
+
U
-
u
=
1
+
u
-
u
+
U
=
1
+
u2
-
1
-
U
1
-
U
1
-
U
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Owning
:
Los
1
-
udu
=
&
d)
=
0
1
+
42
↑
dX
J'Indu
=
) Hindu-
-
/du
=
tan"
(u)
-
&Mn/1
+
uY1
+
1
Da
far
vi
tan"
(u)
-
&Mn(1
+
u
=
In
(x1
+
c
dus
.
tan" (
*
)
-
=In
(1
+
()
=
((x)
+
y
ar
en
implicit
funktion
au
X
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
52
.
10
Linjara
elvationer
ar
ordning
1
.
Def
.
En
linjar
D
.
E
.
pa"standard
form"
ar
dy
+
p(x)y
=
Q(x)
.
(l)
dX
Om
Q
=
0
Kallar
vi
*
+
p(x)y
=
0
(2)
homogen
linjar
D
.
E
.
1)
ef
ar
"Homogena
elvationer"
:
betydensen
linjer
algebra
.
komihig
att
A
*
=
5
for
matris
A
oh
vektorer
.
Bet
kallas
homogen
om
5
=
%
.
[13
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
⑤
Integrations
faktor
M
.
h
.
a
.
productions
regel
(f
.
g)
=
fig
++.
g
oh
kedjeregel
df(g(x))
=
f(g(x))
-
gix)
dX
far
vi
JPCXdX
Spixdx
Spixidx
(y
.
e
c
=
e
+
yep
Spixdx
=
&
(
*
+
P(x(y)(3)
(pix)dx
Efferson
e
#
0
.
dy
+
pixy
=
Q
=>
esp(d
+
p(xy)
=
ax
.
JePd
(3)
*
(y
.
eSpixdy)
=
a(x)
.
e
SpixdX
#
#
ye
Saxdx
=
Ja(x
-
e
SPIXdX
-
Sp(xdX
.
))Q(x)eSp(x
*
x)(4)
#)
y(
=
e
Metoden
or
riktig
.
Det
finns
ingen
an
ledning
all
komme
ihag
formeln
(4)
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
variation
as
parameter
.
Steg1
.
Vi
liser
homogen
linear
D
.
E
(2)
*
+
p(x)y
=
0
(2)
komihag
:
Sats
.
1
Lisningar
ar
DE
=
kY
kt
ary(t)
=
ce
↑
Med
Samma
ide
som
sats
I
far
vi
-
SpixdX
losningar
av
(2)
y(x)
=
ce
Stegz
.
For
att
losa
dy
+
p(x)y
=
Q(x)
,
(1)
dX
antar
vi
att
losningar
ar
ar
form
-
SpixdX
Y
(x)
=
((X)
.
2
(5)
dar
2(x)
ar
en
funktion
ar
X
.
Vi
om vandlar
sedan
(1)
(D
.
E
for
funk
.
7)
till
en
D
.
E
.
for
funktionen
((X)
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Steg3
.
Berkningar
for
att
hitta
D
.
E
for
Ta
"
till
bada sidor
a
15)
:
-SPixsdX
-
(p(x)dX
*
=
c(x)
.
2
+
((X)
.
C
·
(
-
p(x))(6)
-
(5)y(x)
-
Spix)dX
=
c(x)e
-
p(x)y(X)
.
-
Spixdx
DVS
*
+
P(x)y(x)
=
c(x)e
-
D
.
E
for
y
11
D
.
E
.
for
<
=
-
Spixdy
*
+
P(x)y
=
Q(x)
c'(x)
e
=
Q(x)(7)
Steg
4
.
Lis
(7)
for
CN)
.
Vi
far
igen
(4)
:
-
JPIX)
dy
Sp(X)dx
Y(x)
=
e
(Se(ax)(4)
[(X)
Metoden
ar
viktig
.
Det
finns
ingen
an
ledning
all
komme
ihag
formeln
(4)
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
2
.
11
Reduction
ar
ordning
.
S
D
.
E
utan
y-uttryck
.
Exempel
.
D
.
E
.
pa
form
f(x
,
Y
,
y")
=
01
Satt
P
=
y
.
Vi
omvandlar
(1)
Som
ar
D
.
E
.
av
ordning
2
for
Y(x)
till
f(x
-
P
.
p')
=
0
(2)
Som ar
D
.
E
.
ar
ordning
/
for
paxs
.
Vi
gjorde
det
har
forra
gangen
y"
=
g
-
cy'
(90)
v
=
y
v
=
g
-
x
=
v
=
-))
-
e't)
y
=
((f)1
-
e
+))dt
.
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
5
Autonom
D
.
E
.
Exempel
.
D
.
E
pa
form
f(y
,
y
,
y")
=
0(b)
dar
y
=
y(x)
.
Satt
p
=
3
.
P
=
P(y)
och
y
=
Y(x)
.
Da
galler
p(x)
=
P(Y(x)
.
kedjeregel
↓
dP
dy
y"
=
=
JyJx
=
↓
p(4
D
.
E
(3)
(ording
2
for
DE
Lording
I
for
funkion
y
med
var iabelnx)
funktion
p
med
variabe lny)
f(Y
,
Y
,
y"
)
=
0
f(y
,
P
,
O
=
0
ALL RIGHTS RESERVED. wanminliu@gmail.com
Exempel
.
Lis
y"
+
y
=
0(5)
m
.
h
.
a
.
reduction
an
ordning
.
Losing
.
Lat
p
=
Y'orh
tank
p
com
en
funktion
ar
variabeln
y
.
Da
far
vi
y"
=
=
=
p
-
sa
vi
loser
P
+
y
=
0
161
oh
far
pi
+
y
=
=
c 30,
Fallet
1
.
Om
C
=
0
.
Y
=
0
/noll
Konstant
funktion)
oh
p
=
=
0
.
Da
ar
y
=
0
(7)
en
lishing
a
15)
.
Fallet 2
.
Om
10
,
Vi
omskriver
c
=
a
(ato)
p
=
(
=
=
a
y
=
&
d
=
=
dx
a
-
yz
arcsin)
*
)
=>
*
=
sin)
x
+
1)
=
y
=
a(sin(=X
+
1)(k
+
0)
(8)
Vi
kan
omskriva
(7)
oh
18)
pa
en
formulen
Y(X)
=
C
Sin(X)
+
(2
cos(X)
for
C
,
C
n
FIR
.
Anmarkning
.
Y
=
Y(x)
r
den
linjara
Kombinationen
a
tra
linjara
oberende
funktioner
.
