A R E A F O R M E L F Ö R
R E G E L B U N D E N F E M H Ö R N I N G –
E T T E L E M E N TÄ RT B E V I S
wanmin liu
wanminliu@gmail.com
13 februari 2025
Abstract
Vi presenterar ett elementärt bevis för formeln för arean av en likbent
triangel med en basvinkel på 54 grader. Beviset leder också till en formel
för arean av en regelbunden femhörning med sidolängd
a
. Notera att vi
inte har använt några trigonometriska funktioner i detta bevis.
Nyckelord: Pythagoras sats, area, likbent triangel, regelbunden femhörn-
ing.
1
problem: arean av en likbent triangel
med en basvinkel på 54 grader
Exempel 1.1. I triangeln
△ABC
är sidorna
AC
och
BC
lika långa.
AB
längd är 4,5 cm. Vinkeln B är 54 grader. Beräkna triangelns area.
Detta problem förekommer inom matematik för årskurs 9 i Sverige. Enligt
Kursplan i Matematik [1] och det centrala innehållet för årskurs 7–9 kan vi inte
använda trigonometriska funktioner, eftersom dessa inte behandlas i kursen.
Vi presenterar därför ett elementärt bevis för formeln för arean av en likbent
triangel. Beviset bygger på tre viktiga egenskaper:
• En likbent triangel har lika stora basvinklar.
•
Likformighet: Förhållandet mellan motsvarande sidor i likformiga triang-
lar är lika.
• Pythagoras sats.
1
2 en elementär lösning
Steg 1. Två grundläggande egenskaper hos likbenta trianglar
Vi börjar med att granska två grundläggande egenskaper hos likbenta
trianglar. För att tydligt representera längder använder vi symbolen
|AC|
för
längden av linjesegmentet AC.
Lemma 2.1. För en likbent triangel
△ABC
där
|AC|
=
|BC|
gäller att
∠BAC = ∠ABC.
Lemma 2.2. Låt triangeln
△ABC
vara en likbent triangel där
|AC|
=
|BC|
.
Om en vinkelrät linje dras från
C
till
AB
, med skärningspunkten
D
, så är
CD
bisektrisen av vinkeln
∠ACB
. Det innebär att vinkeln
∠ACD
är lika med
vinkeln ∠DCB.
I det här exemplet vet vi att
∠ABC
=
∠BAC
= 54° och
∠ACB
= 180°
−
2
·
54° = 72°. Enligt Lemma 2.2 kan vi därför dra slutsatsen att vinkeln
∠ACD = 36°.
Vi vet också att:
|AD| =
1
2
|AB| =
9
4
(cm).
Arean av △ABC ges av:
△ABC = |AD|·|DC| (cm
2
).
Steg 2. Konstruktion av tre likbenta trianglar
Vi förlänger linjesegmentet
CD
till
E
så att
|CA|
=
|CE|
. På så sätt bildas
en likbent triangel
△ACE
. Med hjälp av Lemma 2.1 och det faktum att
vinkeln ∠ACE = 36°, får vi att ∠AEC = ∠EAC = 72°.
Vi utelämnar enheten "cm" för enkelhetens skull och betecknar
x
:=
|AC|
och y := |AE|. Eftersom vinkeln ∠AEC är större än vinkeln ∠ACE, gäller:
x > y. (2.1)
Låt punkten
F
ligga på linjen
CD
så att
|DE|
=
|DF |
. Då är triangeln
△EAF
också en likbent triangel med
y
=
|AE|
=
|AF |
. Genom att återigen
använda Lemma 2.1 får vi att ∠AF E = ∠AEF = 72°.
Eftersom ∠F AC + ∠F CA = ∠AFE, har vi:
∠F AC = ∠AF E −∠F CA = 72° −36° = 36°.
2
Därför är triangeln
△AF C
också en likbent triangel, och sidolängden
|CF |
är
lika med |AF |, det vill säga |CF | = |AF |= y.
Steg 3. Likformighet
Två trianglar är likformiga om två vinklar i den ena triangln är lika stora
som två vinklar i den andra triangeln. Vi kan konstatera att trianglarna
△ACE
och
△EAF
är likformiga. Därför gäller att förhållandet mellan motsvarande
sidor är lika:
|CA|
|AE|
=
|AE|
|EF |
.
Vi utelämnar enheten "cm" och skriver
|EF |
=
|CE|−|CF |
=
x −y
. Därmed
får vi
x
y
=
y
x −y
. (2.2)
Steg 4. Pythagoras sats
För den rätvinkliga triangeln
△ADC
använder vi Pythagoras sats, vilket
ger:
|AC|
2
= |AD|
2
+ |DC|
2
.
Vi beräknar längden av
|DC|
:
|DC|
=
|CF |
+
|F D|
=
|CF |
+
1
2
|EF |
=
y
+
x−y
2
=
x+y
2
.
Beteckna längden av AB med a (cm). Då är |AD| =
a
2
.
Genom att sätta in dessa värden i Pythagoras sats får vi följande formel:
x
2
=
a
2
2
+
x + y
2
2
. (2.3)
Steg 5. Beräkningen
Vi beräknar arean av △ABC enligt följande:
Arean av △ABC = |AD|·|CD| =
a
2
·
x + y
2
, (2.4)
med hjälp av ekvationerna (2.2) och (2.3).
Från ekvationen (2.2) får vi:
x
2
= xy + y
2
.
Beteckna
x = φy (2.5)
för ett tal φ. Då får vi ekvationen
φ
2
y
2
= φy
2
+ y
2
.
Eftersom y , 0, kan vi förenkla detta till:
φ
2
= φ + 1. (2.6)
Kom ihåg relationen i
(2.1)
, vilket ger att
φ >
1. Vi löser denna andragrad-
sekvation och får:
φ =
1 +
√
5
2
. (2.7)
3
Från ekvationen (2.3) får vi:
4x
2
= a
2
+ (x + y)
2
.
Sätt in relationen x = φy i ekvationen ovan. Vi får
4φ
2
y
2
= a
2
+ (1 + φ)
2
y
2
= a
2
+ φ
4
y
2
, (2.8)
där vi använder relationen (2.6) i den sista ekvationen.
För att lösa för y har vi
4φ
2
−φ
4
y
2
= a
2
,
vilket ger
φ
2
(4 −φ
2
)y
2
= a
2
.
Genom att använda ekvationen
(2.6)
får vi att 4
−φ
2
= 4
−
(1 +
φ
) = 3
−φ
. Så
vi får
y =
a
φ
√
3 −φ
. (2.9)
Därför är arean av △ABC:
Arean av △ABC = |AD|·|CD| =
a
2
·
x + y
2
=
a
2
·
(1 + φ)y
2
=
a
2
4
1 + φ
φ
√
3 −φ
=
a
2
4
φ
2
φ
√
3 −φ
=
a
2
4
φ
√
3 −φ
, (2.10)
där φ ges av (2.7) och a =
9
2
cm.
Lösning. Arean av △ABC är
81
16
φ
√
3 −φ
cm
2
där
φ
=
1+
√
5
2
. Med hjälp av en miniräknare är arean av triangeln
△ABC
ungefär lika med 7 kvadratcentimeter.
Anmärkning 2.3. Vi kan också göra följande beräkningar, men detta är inte
nödvändigt eller viktigt.
Låt oss göra beräkningen
φ
√
3−φ
först. Beräkningen använder formlerna
(a + b)(a −b) = a
2
−b
2
och (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
φ
√
3 −φ
=
1+
√
5
2
q
3 −
1+
√
5
2
=
1 +
√
5
q
12 −2(1 +
√
5)
=
(1 +
√
5)
q
10 + 2
√
5
q
(10 −2
√
5)(10 + 2
√
5)
=
(1 +
√
5)
q
10 + 2
√
5
q
(10
2
−(2
√
5)
2
)
=
q
(1 +
√
5)
2
(10 + 2
√
5)
√
80
=
q
(6 + 2
√
5)(10 + 2
√
5)
√
80
=
s
80 + 32
√
5
80
=
s
5 + 2
√
5
5
=
q
(5 + 2
√
5)5
5
=
q
25 + 10
√
5
5
. (2.11)
4
Arean av △ABC =
a
2
4
φ
√
3 −φ
=
a
2
4
q
25 + 10
√
5
5
. (2.12)
Anmärkning 2.4. Om vi kan använda trigonometriska funktioner, så är
tan(∠DAC) =
|DC|
|AD|
, dvs |DC| = |AD|tan(54°). (2.13)
Sedan har vi
Arean av △ABC = |AD|·|DC| = |AD|
2
tan(54°) =
a
2
4
tan(54°).
Ovanstående beräkning ger faktiskt
tan(54°) =
q
25 + 10
√
5
5
. (2.14)
Att beräkna
tan(54°)
i exakt form som i
(2.14)
är en standardövning i
trigonometriska formler.
Anmärkning 2.5. Ekvationen
(2.6)
kallas för den gyllene snittets ekvation,
och lösningen
φ
=
1+
√
5
2
kallas det gyllene snittet. Detta tal har många
applikationer, till exempel för att beräkna Fibonaccis talföljd.
3
areaformel för regelbunden femhörning
Sats 3.1. Arean av en regelbunden femhörning med sidolängd a är
Arean av D =
a
2
4
q
25 + 10
√
5. (3.1)
Bevis. Låt
C
vara mitten av den regelbundna femhörningen. Dra linjer från
punkt
C
till varje hörn för att skapa fem identiska trianglar. Låt en av
dessa trianglar ha basen
AB
som är en sida av femhörningen. Då är vinkeln
∠ACB
=
360°
5
= 72°. Vinklarna
∠CAB
och
∠CBA
är lika och har värdet
(180°
−
72°)
/
2 = 54°. Vi får triangeln
△ABC
som är precis som i Exempel 1.1.
Genom ekvationerna
(2.10)
och
(2.12)
kan vi beräkna arean av triangeln
△ABC. Därför ges arean av den regelbundna femhörningen av formeln
Arean av D = 5 ·Arean av △ABC =
a
2
4
q
25 + 10
√
5.
5
Anmärkning 3.2. Med hjälp av en miniräknare kan vi beräkna att arean för
en regelbunden femhörning med sidlängd a kan approximeras som:
Arean av D ≈ 1,72a
2
. (3.2)
Anmärkning 3.3. Om vi betecknar längden av
CA
med
r
, och kallar det
radien av regelbunden femhörning, har vi då
r
=
x
=
φy
=
a
√
3−φ
, som bara är en
omskrivning av ekvationen
(2.9)
. Vi får då arean av regelbunden femhörningen
med radien r
Arean av D =
(3 −φ)r
2
4
5φ
√
3 −φ
=
5φ
√
3 −φ
4
r
2
.
Med samma teknik som att beräkna (2.11) kan vi hitta att
Arean av D =
5φ
√
3 −φ
4
r
2
=
5
q
10 + 2
√
5
8
r
2
≈ 2, 38r
2
.
Övning 3.4. På liknande sätt bevisa att arean av regelbunden sexhörning med
radie r är :
Arean av 7 =
3
√
3
2
r
2
≈ 2, 6r
2
.
Övning 3.5. Bevisa att arean av regelbunden tiohörning med radie r är :
Arean =
5
q
10 −2
√
5
4
r
2
≈ 2, 94r
2
.
Tips. Man kan beräkna arean av
△ACE
och sedan multiplicera den med 10.
Övning 3.6. Bevisa att arean av regelbunden tolvhörning med radie r är :
Arean = 3r
2
.
Faktum är att beräkningen för en regelbunden sexhörning och tolvhörning
är enklare, men metoden förblir densamma.
Det kan visas att arean av en regelbunden månghörning/regelbunden polygon
är proportionell mot kvadraten på dess radie. Denna proportionella koefficient
har en gräns. Man kan tänka sig att när antalet sidor av en regelbunden
polygon ökar, blir polygonen mer som en cirkel. Arean av en cirkel med radien
r ges av πr
2
≈ 3, 14r
2
, och π är gränsen för denna proportionella koefficient.
references
[1] ‘Läroplan (Lgr22) för grundskolan samt för förskoleklassen och
fritidshemmet’. https://www.skolverket.se/undervisning/
grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/
laroplan-lgr22-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och-fritidshemmet
.
6
