P Y T H A G O R A S S AT S
wanmin liu
wanminliu@gmail.com
10 februari 2024
Abstract
Den här artikeln ger ett exempel på hur eleverna skulle kunna tillämpa
Pythagoras sats. Vi konstruerar en analytisk uppgiftsspecifik bedömnings-
matris och bedömer fem lösningar.
Nyckelord: Pythagoras sats, area, liksidig triangel, Sierpińskitriangel.
1 problem: si erpińskit riangel
Exempel 1.1. Triangel
△ABC
är en liksidig triangel, vilket betyder att dess
tre sidor är lika långa.
Steg 1.
Om vi antar att den sidolängden är 3, vad är arean av triangeln
△ABC
?
Steg 2.
Om vi antar att den sidolängden är ett positivt tal
a
, och vi betecknar
detta arean vid
A
0
, vad är arean
A
0
av triangeln
△ABC
uttryckt i termer
av a?
Steg 3.
Vi fortsätter med Steg 2. Beteckna mittpunkterna på de tre sidorna
med
D,E, F
. Vi tar bort triangeln
△DEF
från triangeln
△ABC
och
betecknar arean av den återstående regionen med
A
1
. Vad är
A
1
i
uttrycket A
0
?
Steg 4.
För den återstående regionen i Steg 3, upprepar vi processen i Steg 2.
Det vill säga att vi tar bort varje triangel med dess inre mitttriangel som
Steg 2. Beteckna arean av den återstående regionen med
A
2
. Vad är
A
2
i uttrycket av A
1
?
Steg 2 Steg 3 Steg 4
Kommentar 1.2. Vi kan upprepa processen, och gränstalet kallas Sier-
pińskitriangel [1].
1
2 fö reslagen lösn ing.
Steg 1. Vi utgår från punkt
A
och drar en vinkelrät linje mot
BC
. Foten av
en vinkelrät betecknas som punkt M .
Beteckna
|BC|
som längden av linjesegmentet
BC
. Sedan
|BM|
=
|CM|
=
1
2
|BC|
och triangeln
△AMB
är rätvinklig med den räta vinkeln
∠AMB
. Vi
kan använda Pythagras sats till den räta triangeln
△AMB
och har relationen
|AB|
2
= |AM|
2
+ |BM|
2
.
Nu |AB| = 3 och |BM | =
1
2
|BC| =
3
2
. Så vi har
|AM| =
s
3
2
−
3
2
2
=
3
√
3
2
.
Då ges
Arean av △ABC =
1
2
|BC|·|AM| =
1
2
·3 ·
3
√
3
2
=
9
√
3
4
.
Steg 2. Beräkningen liknar Steg 1. Nu
|AB|
=
a
och
|BM|
=
1
2
|BC|
=
a
2
.
Med Pythagras sats har vi
|AM| =
r
a
2
−
a
2
2
=
a
√
3
2
,
och
A
0
= Arean av △ABC =
1
2
|BC|·|AM| =
1
2
·a ·
a
√
3
2
=
√
3
4
a
2
. (2.1)
Steg 3. Vi har två metoder för att beräkna arean för den återstående regionen.
Metod 1. Beräkna arean för
△DEF
. Triangeln
△DEF
är också en liksidig
triangel med sidans längd
a
2
. Genom att använda formeln (2.1) har vi
Arean av △DEF =
√
3
4
a
2
2
=
1
4
A
0
. (2.2)
Då följer att
A
1
= Arean av △ABC −Arean av △DEF =
3
4
A
0
. (2.3)
Metod 2. Inget behov av att beräkna arean för
△DEF
. Med hjälp av bilden
i Steg 3 finner vi att arean av den vita triangeln (
△DEF
) är lika med arean
av en svart triangel. Den återstående arean
A
1
=
3
4
A
0
.
Steg 4. Med samma anledning i Metod 2 i Steg 3 har vi
A
2
=
3
4
A
1
.
Kommentar 2.1. Watson & Mason (1998) [2] (också Skott [3], sidorna 231
till 234) är viktig. Steg 1 ("att exemplifiera och specialisera") till Steg 4 ("att
jämföra, sortera och organisera") är processen från konkret till abstrakt.
2
Kommentar 2.2. Detta är ett exempel på fraktal geometri. Vi får i allmänhet
att
A
n
=
3
4
n
A
0
. Jag tycker att Jaworskis undervisningstriaden (Skott [3],
sidan 254) är viktig för undervisningen. Problemet jag designade kommer från
den mycket grundläggande nivån av arean av en liksidig triangel, till en hög
nivå av fraktal geometri av Sierpińskitriangel. Jag tror att denna fråga också
är intressant för elever. Eftersom de kan lösa arean problem. Därmed öppnar
dörren till avancerad fraktalgeometri problem. Det är ett exempel av Jaworskis
Mathematical challenge (Skott [3] sidan 254).
3 be dömningsmatris
3.1 Generell bedömningsmatris
Vi använder matrisen generell bedömningsmatris i dokumentet [4] (sidan 13).
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtagbar/E-nivå
Högre
nivå
Problemlösning
Eleven tolkar enkel skriftlig in-
formation med matematiskt in-
nehåll. Eleven tolkar resultat
och drar någon relevant slut-
sats.
Begrepp
Eleven använder olika begrepp
i välkända sammanhang.
Metoder
Eleven genomför metoder och
beräkningar godtagbart.
Resonemang
Eleven ställer och besvarar
frågor som i huvudsak hör till
ämnet matematik.
Kommunikation Eleven använder matematikens
uttrycksformer med viss an-
passning till sammanhanget.
3.2 Vilka val du har gjort när du utformade din matris?
I boken [3, s. 292, 293] skrivs att:
Den andra anledningen att utvärdera är att man vill planera
undervisningen utifrån elevernas nuvarande förståelse och kunnande.
Denna form av utvärdering förhåller sig till lärprocessens utveckling
över tid. Vi kallar den formativ utvärdering eftersom den ska
användas till att utforma undervisningen.
Vi använder den formativa bedömningen [5] [6]. Vi ger mer detaljer i det
följande.
3
Bedömningen
avser
På väg mot godtagbar nivå Godtagbar/E-nivå Högre nivå
Problemlösning
Steg 1. Eleven vet area av tri-
angeln.
Steg 1 och Steg 2. Eleven vet
arean av trigngel. Eleven kan
hitta höjden.
Steg 1 till Steg 4.
Begrepp Area av triangeln.
Area av triangeln, triangelns
höjd.
Area av triangeln, triangelns
höjd, Pythagoras sats.
Metoder
Eleven vet det
Area△
=
1
2
bas ·
höjd.
Eleven vet det
Area△
=
1
2
bas ·
höjd
. Eleven vet att triangelns
höjd kan hittas genom att an-
vända Pythagoras sats.
Eleven vet det
Area△
=
1
2
bas ·
höjd
. Eleven vet att triangelns
höjd kan hittas genom att an-
vända Pythagoras sats och el-
even beräknar höjden.
Resonemang
Eleven använder den allmänna
formeln för triangelns area
utan förklaring, till exempel
vilken del är basen och vilken
del är höjden.
Eleven förklarar beräkningen
av höjd med hjälp av Py-
thagoras sats.
Eleven förklarar beräkningen
av höjd med hjälp av Py-
thagoras sats. Eleven förklarar
arean av den mellersta lilla tri-
angeln är en fjärdedel av arean
av den ursprungliga triangeln.
Kommunikation
Det matematiska uttrycket
skrivs konkret.
Det matematiska uttrycket
skrivs konkret och den skrivna
texten är på ett logiskt sätt
med matematiska uttrycket.
Det är en fördel att skriva med
en bild.
4
3.2.1 Problemlösning
Det givna problemet är redan uppdelat i fyra delar (Steg 1 till Steg 4), från
konkret till allmänt. Eleven får E om de kan visa Steg 1. Eleven får A om de
kan visa Steg 4.
3.2.2 Begrepp
Den centrala innehallen är Pythagoras sats. Eleverna skulle förstå begreppen
som: Pythagoras sats, rät triangel, area av en triangel, jämförelse av trianglar,
liksidig triangel.
Det skulle vara en fördel om eleverna använda exponentiell funktion. Men
vi antar inte att eleverna kommer att förstå allmänna relationen genom att
använda begreppet exponentiell funktion, till exempel, A
n
=
3
4
n
A
0
.
3.2.3 Metoder
Eleverna bör förstå att Steg 1 och Steg 2 ska vara i samma metod.
Steg 3 skulle kunna lösas med samma metod som steg 2 (Metod 1 i lösning),
med skillnaden mellan arean av två trianglar.
Steg 3 kan också lösas genom att observera att triangeln i mitten är en
fjärdedel av den ursprungliga triangeln.
3.2.4 Resonemang
Den väsentliga delen är att hitta triangelns höjdlängd med hjälp av Pythagoras
sats.
Eleverna ska också förklara i Steg 3 varför arean av den lilla triangeln i
mitten är en fjärdedel av hela triangelns area.
3.2.5 Kommunikation
Eleverna kan använda grafik för att förklara.
Eleverna använder bokstäver och variabler för att uttrycka matematiska
idéer tydligt.
5
4 be dömning av föreslag en lösn ing.
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtag-
bar/E-
nivå
Högre nivå
Problemlösning Problemet löses tydligt från det
konkreta fallet i steg 1 till det
allmänna fallet i steg 4.
Begrepp
Begreppen i Pythagoras sats,
areaformeln är välskriven.
Metoder
Metoden för beräkningsområ-
det är välskriven. För steg 3
ger det två sätt att beräkna
arean.
Resonemang
Orsaken till höjdens längd
framgår väl genom att använda
Pythagoras sats.
Kommunikation
Matematikens uttryck är
tydligt.
5 be dömning av lösning av elev a.
Detta är en lösning från elev A.
6
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtag-
bar/E-
nivå
Högre nivå
Problemlösning Eleven ger den fullständiga lös-
ningen på varje problem.
Begrepp
Begreppen i Pythagoras sats,
areaformeln är välskriven. El-
even förstår begreppet expo-
nentiell funktion.
Metoder
Det allmännan problem (Steg
2) är löst först med en effektiv
generell metod. Då tar det vär-
det
a
= 3 för det konkreta prob-
lem i Steg 1.
Resonemang
Eleven använder Pythagoras
sats för att räkna ut höjden
h på triangeln.
Kommunikation
Det är bra att eleven rita en
bild.
7
6 be dömning av lösning av elev b.
Detta är en lösning från elev B.
8
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtag-
bar/E-
nivå
Högre nivå
Problemlösning
Eleven ger den lösningen på
Steg 1 och Steg 2.
Begrepp
Begreppen i Pythagoras sats,
areaformeln är välskriven.
Metoder
Metoden för att beräkna arean
i Steg 1 är tydlig. Samma
metod tillämpas på Steg 2.
Resonemang
Eleven använder Pythagoras
sats för att räkna ut höjden
på triangeln △AHB.
Kommunikation
Det är bra att eleven rita en
bild. Eleven använder sin egen
symbol för längden
h
=
|AB|
och höjd
a
=
|BH|
. Men det
står tydligt skrivet på bilden.
Så det finns ingen förvirring.
7 be dömning av lösning av elev c.
Detta är en lösning från elev C.
Eleven kunde till och med skapa sitt eget problem för Steg 5. Han kunde
hitta de allmänna sambanden genom att använda exponentiell funktion
A
n
=
3
4
n
A
0
. Varje steg följer med en fin bild.
9
10
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtag-
bar/E-
nivå
Högre nivå
Problemlösning Varje problem är klart löst. El-
even kan till och med skapa sitt
eget problem för steg 5.
Begrepp
Begreppen i Pythagoras sats,
areaformeln är välskriven. Ex-
ponentiell funktion
A
n
=
3
4
n
A
0
ges.
Metoder
Använder en effektiv generell
metod.
Resonemang
Eleven använder Pythagoras
sats för att räkna ut höjden
på triangeln △ADB.
Kommunikation
Det är bra att eleven rita bild.
8 be dömning av lösning av elev d.
Detta är en lösning från elev D.
11
Wanmins problem löst av Lars
Steg 1
För att beräkna arean använder jag formeln
A
=
bh
2
där
b
är basen och
h
höjden i triangeln. I vår triangel är basen
3cm och höjden är en lodrät linje, AD, från toppspetsen av triangeln till mittpunkten på basen, eftersom triangeln
är liksidig.
Höjdens längd kan beräknas med Pythagoras sats som
h =
q
3
2
−
3
2
2
=
q
9 −
9
4
=
q
36−9
4
=
q
27
4
=
q
3∗3∗3
4
= 3
q
3
4
= 3
√
3
2
cm.
Arean blir
bh
2
=
3·3
√
3
4
= 9
√
3
2
Steg 2
Om vi ersätter 3 med a får vi ett likande uttryck för h
h =
p
a
2
− (
a
2
)
2
=
q
a
2
−
a
2
4
= a
q
1 −
1
4
= a
√
3
2
Arean blir
A
0
=
1
2
bh =
1
2
a · a
√
3
2
= a
2
√
3
4
Steg 3
I steg 3 skapas 4 liksidiga trianglar med samma sida
a
2
. Arean av den svarta delen, 3 av de fyra mindre trianglarna,
blir därför
A
1
=
3
4
A
0
Steg 4
I steg 4 delas varje fylld triangel i figuren från steg 3 i 4 delar på samma sätt. Sidan i varje delad triangel är
a
4
.
Arean av den svarta delen blir då
A
2
=
3
4
A
0
−
3
16
A
0
=
12−3
16
A
0
=
9
16
A
0
=
3
4
A
1
1
Bedömningen
avser
På väg
mot
godtag-
bar
nivå
Godtag-
bar/E-
nivå
Högre nivå
Problemlösning
Varje problem är klart löst.
Begrepp
Begreppen i Pythagoras sats,
areaformeln är välskriven.
Metoder
Använder en effektiv generell
metod.
Resonemang
Eleven använder Pythagoras
sats för att räkna ut höjden
på triangeln
△ADB
. I Steg
3 ger eleven också tydliga skäl
till att de fyra små trianglarna
har samma area.
Kommunikation
Det är bra att eleven rita bild.
re ferences
[1] ‘Sierpiński triangle’. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=
Sierpi%C5%84ski_triangle&oldid=1194000829. Page Version ID:
1194000829.
[2] Anne Watson and John Mason, Questions and prompts for mathematical
thinking. Association of Teachers of Mathematics.
[3] Jeppe Skott, Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Sverker Lundin, and
Joachim Retzlaff, Matematik för lärare Delta Didaktik. Gleerups
Utbildning.
[4] Bedömning för lärande i matematik årskurs 1–9. Skolverket.
[5] Kunskapsbedömning i skolan : praxis, begrepp, problem och möjligheter.
Skolverket ;. http://www.skolverket.se/publikationer?id=2660.
[6]
Anna Grettve, Marie Israelsson, and Anders Jönsson, Att bedöma och sätta
betyg : tio utmaningar i lärarens vardag. Natur & Kultur.
13
