Back to homepage

Engelsk version

Tack till Georgios med hjälp av översättning.

Bridgelands stabilitetsvillkor – nya aspekter av symmetri och klassificering

Samverkan mellan matematik och fysik är fantastisk. Många djupa matematiska teorier har visat sig vara grundläggande i fysik, såsom Riemanniangeometri i allmän relativitetsteori, medan många vackra idéer inom fysik har visat sig vara djupa teorier i matematik, såsom strängteori i modern algebraisk geometri och symplektisk geometri. Begreppet Bridgelandsstabilitet, som introducerades av Bridgeland själv 2002, är ett utmärkt sådant exempel.

Vad är en triangulerad kategori?

Sedan 1940-talet har matematiker uppgraderat den klassiska mängdläran till så kallad kategoriteori. Den förstnämnda teorin behandlar endast objekt medan den senare ägnar mer uppmärksamhet åt förhållandena mellan objekten - det man i matematiskt språk kallar morfismer. De så kallade abelska kategorierna är kategorier som uppfyller många bra egenskaper. Där har vi möjlighet att prata om delobjekt och kvotobjekt - som faktiskt är speciella typer av morfismer. På 1960-talet dök en ny enorm kategori dykt upp - den triangulerade kategorin. Vi kan föreställa oss en triangulerad kategori som en skyskrapa med oändligt många golv - där denna oändlighet indexeras av heltalen. Så vi kan prata om den -5:e våningen eller den 7:e våningen, osv. Vi antar också att alla våningar är desamma, så att vi kan flytta en våning till den andra våningen. Dessutom anses 0:e våningen utgöras av en abelsk kategori. Ett objekt i en triangulerad kategori blir jättestort - det kan ha flera olika komponenter i de olika våningarna. Det finns fortfarande en uppfattning om morfism i kategorin, alltså ett förhållande mellan objekt. På detta sätt har denna oändliga skyskrapa - den triangulerade kategorin - flera föremål och morfism än blott sin 0:e våning - den abelska kategorin. För att igen kunna prata om delobjekt och kvotobjekt så måste vi postulera några så kallade trianguleringsaxiom till denna enorma kategori, och det anledningen till att man kallar det för en triangulerad kategori. Detta matematiska begrepp har visat sig vara platsen där de så kallade D-branen (en speciell typ av membran) i strängteori lever, genom att objekt i den triangulerade kategorin formellt kan betraktas som D-bran medans morfismerna kan betraktas som öppna strängar. Alla axiom i den triangulerade kategorin har motsvarande fysikaliska betydelser. I allmänhet så är en så kallad t-struktur i en triangulerad kategori ett sätt att axiomatisera egenskaperna för abelska underkategorier, och den indexeras av heltal.

Vad är ett Bridgeland-stabilitetsvillkor?

Ett Bridgeland-stabilitetsvillkor σ=(Z, P) på en triangulerad kategori D består av en centralladdning Z, som är ett användbart sätt att mäta olika objekt i D, samt en “slicing” P, som är en förfining av t-strukturen på D från heltalen till de reella talen. Dessutom tillfredsställer paret (Z, P) vissa ytterligare axiom. I själva verket associerar Z ett komplext tal till varje objekt, och vi kan använda det komplexa talets argument (dvs vinkel) för att jämföra olika objekt i D. Genom att sammanfoga dessa komplexa tal så får man en komplex mångfald, ett slags generellt typ av rum, som vi kallar för Bridgelands stabilitetsmångfald Stab(D).

Bridgelands stabilitetsvillkor ger nya aspekter på symmetri och klassificering.

Två centrala teman i matematik är symmetri och klassificering. Bridgelands stabilitetsvillkor ger dem nya aspekter. Å ena sidan så utökar begreppet Bridgelandsstabilitet vår förståelse för symmetri: det är en nyckelbegrepp för förståelsen av Kontsevichs homologiska spegelsymmetri, som är ett djupt dualitetsförhållande mellan de olika kategorier som studeras i ämnena algebraisk geometri och symplektisk geometri, och som har varit en viktig källa till den matematiska utvecklingen under de senaste åren. Å andra sidan ger uppfattningen om Bridgelands stabilitetsvillkor nya idéer rörande klassificering: många klassificeringsproblem kan betraktas som wall-crossing fenomen i Bridgelands stabilitetsmångfalder.

Forskningen om begreppet Bridgelandsstabilitet är mycket nytt och aktivt. Det ger djupa kopplingar mellan olika grenar av matematik. Syftet med denna forskningsplan är att skapa en ny förståelse av begreppet Bridgelandsstabilitet, samt att hitta nya tillämpningar av det inom ämnet algebraisk geometri.